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基于实代数几何理论的区间系统鲁棒稳定性研究

【摘要】:对区间系统鲁棒稳定性的理论研究起始于上世纪七十年代末,在上世纪八、九十年代形成一股热潮并一直持续至今。这期间得到了一批重要的结果,所研究的区间系统模型越来越具有一般性。在涡轮发电、振动控制、飞行器控制等实际工程领域,区间系统建模也受到了越来越多的关注。但总的来说,目前已有的区间系统鲁棒稳定性判据还无法让人满意。针对这种现状,本文以实代数几何理论为工具,发展了一系列的区间系统鲁棒稳定性判据,在一定程度上充实和丰富了区间系统鲁棒稳定性研究的现有理论。全文共分为七章,主要包含以下四个方面的内容: 1.研究了Hermitian区间系统的鲁棒稳定性。通过对Hermitian区间矩阵特征值的分析,分别对连续系统及离散系统提出了检验其鲁棒稳定性的端点方法,包含一个充分性的判据及一个充分必要性的判据,其中后者改进了已有文献的结果中所需Hermitian端点矩阵的数目。依据文中给出的构造这些Hermitian端点矩阵的算法,对一些数值例子进行了仿真实验,结果表明了文中所得判据的有效性。 2.基于多项式判别系统,以递归模型为例研究了2-D线性离散系统和2-D线性连续系统的稳定性。通过对系统传递函数的分析,建立了检验2-D系统稳定性的充分必要性判据。所得的结果稍作修改后,即可推广到连续—离散系统,或2-D线性系统的其它模型。理论分析表明,所得结果具有较低的复杂度,并且还可以应用于含参数的2-D系统,在一定程度上改进和推广了已有文献中的相应结果。数值实例及计算机仿真验证了文中所得结果的有效性。 3.以齐次多项式的正性检验方法为工具,研究了区间系统的鲁棒稳定性检验问题。首先对最近提出的一种在实际中显示有较高效率的多项式正性检验方法,即加权差分代换方法,给出了它用于多项式正性检验时所需代换次数的估计,从而在理论上证明了使用该方法判别多项式正性时的完备性。然后以该方法为工具,对三类区间系统(多胞形矩阵模型描述的区间系统、系统矩阵元素为参数的有理函数的区间系统、特征多项式系数为参数的有理函数的2-D区间系统),提出了检验其鲁棒稳定性的充分必要性判据。文中的推导针对的是连续系统,对离散系统可以完全类似地进行处理。理论分析指出,所得结果在一定程度上包含和发展了已有文献中的相应结果,数值仿真验证了这些结果的有效性。 4.提出了基于区间分析的函数正性检验算法,并以此为工具,针对一类更一般的区间系统,即系统矩阵元素是参数的连续函数的区间系统,得到了检验其鲁棒稳定性的充分性判据。理论分析和实际例子表明,该判据在一定程度上可以减少分析结果的保守性。

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