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演化算法与混合算法的性能研究

【摘要】:演化算法是一种仿生学算法,其灵感源自于生物界优胜劣汰、适者生存的自然法则。自提出以来,演化算法已被成功应用于大量优化问题的求解,其中包括工程实践问题和经典组合优化问题。但理论上我们对演化算法的优化性能了解不多。早期的演化算法理论研究主要针对它在拟布尔函数上的性能展开分析,后来发展到P类问题如最小生成树、欧拉环等问题上的性能分析,再到NP-完全(难)组合优化问题上的性能分析。虽然NP-完全(难)组合优化问题在计算机科学领域中占有重要地位,但是演化算法在NP-完全(难)组合优化问题上的理论成果还很有限。一般认为,不存在算法可在多项式时间内求解NP-完全(难)组合优化问题,所以我们也不能期望演化算法在多项式时间内求解这类问题。我们感兴趣的是演化算法在一给定的NP-完全(难)组合优化问题上能获得怎样的近似比,获得这一近似比的时间复杂度如何等问题。这些问题的回答离不开对演化算法性能的理论研究。 将若干个体算法组合得到混合算法,这似乎是设计高性能算法的有效途径。近年来,已经设计出大量的混合算法并用于求解复杂优化问题,其中不乏典型代表,如memetic算法等。尽管有实验显示混合算法在一些问题上表现出比个体算法更好的性能,但是理论上我们对这一现象了解很少。混合算法的理论研究远远落后于实验研究,混合算法的理论基础极为薄弱。 为此,本文针对演化算法和混合算法做了如下研究: (1)分析演化算法在最小标签生成树(MLST)问题上的性能 最小标签生成树问题是来源于工程实践的一个NP-难组合优化问题。它是在带标签的连通无向图中寻找一棵生成树使得树中所包含的标签数最少。该问题在通信网络和数据压缩等许多实际问题上有重要应用。为有效求解MLST问题,人们提出许多算法。最大顶点覆盖算法(MVCA)是其中之一,它属于贪心算法。如果输入图中每个标签出现的次数最多为b,则MVCA能获得H b1b i1i的近似比。 已有一些实验显示演化算法对MLST算法有效。但演化算法究竟在这个NP-难问题上表现如何,仍无理论结果。为此,本文对演化算法在MLST问题上的性能做了分析研究,得到演化算法在该问题上的近似比,并在三个实例上分析比较演化算法与局部搜索算法的性能,同时构造了一个MLST问题实例,在该实例上证明多目标演化算法优于单目标演化算法。 (2)分析演化算法在Steiner树问题(STP)上的性能 Steiner树问题是以瑞士数学家Jakob Steiner的名字命名的著名组合优化问题。在图中或平面上指定一些顶点,该问题是通过引入附加顶点寻找一棵连接所有指定顶点的最小权重生成树。这些指定顶点被称为特殊顶点。这也是一个NP-难组合优化问题。Steiner树问题有着广泛的应用,如电路设计、网络设计等。 Steiner树问题与顶点之间权重的定义有关,因此包含多个特殊的Steiner树问题。本文只考虑两个特殊的Steiner树问题,即图的Steiner树问题(STP in Graph, GSTP)和直角Steiner树问题(Rectilinear STP, RSTP)。这两个问题仍是NP-难问题。在图的Steiner树问题中,问题的输入是一个给定的带权重的无向图,每条边上的权重依据问题事先给定,特殊顶点是输入图中指定的某些顶点。在直角Steiner树问题中,特殊顶点是在平面上指定的一些点,而两点(x1, y1)和(x2, y2)之间的权重等于|x1-x2|+|y1-y2|。 本文理论分析演化算法在图的STP问题和直角STP问题上的性能。在图的STP树问题上,研究了演化算法的近似性能,并在两个实例上分析比较演化算法与其他两个启发式算法的性能,同时,构造了一个实例说明演化算法可能需要指数平均优化时间。在一个直角STP树问题的实例上分析发现,尽管演化算法不会像另一个启发式算法那样陷入局部最优,但它跳出局部最优可能需要指数平均时间。 (3)分析混合算法成功率 混合算法是为充分发挥不同算法的优点而将两个或两个以上个体算法结合起来构造的算法。一个混合算法是否好于组成该混合算法的个体算法,在什么情况下更好,更好的程度如何?这些问题目前还没有理论上的答案。 本文分析混合算法的成功率,研究混合算法成功率与个体算法成功率之间的关系,从理论上了解混合算法性能。具体讲,本文使用马尔科夫链研究三个混合算法在h(0)次迭代之后的成功率,这三个混合算法是将两个个体随机化启发式搜索算法按不同方式组合得到。随后,分析随机游走算法、局部(1+1) EA算法及三个混合算法在SAT问题实例上的成功率曲线之间的关系。这三个混合算法是按不同方式将随机游走算法和局部(1+1) EA算法组合而得。

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